数学1必修篇一:高中数学必修1课后习题答案
高中数学必修1课后习题答案
第一章集合与函数概念
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
练习(第5页)
1.用符号“?”或“?”填空:
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______A,美国_______A,
印度_______A,英国_______A;
(2)若A?{x|x2?x},则?1_______A;
(3)若B?{x|x2?x?6?0},则3_______B;
(4)若C?{x?N|1?x?10},则8_______C,9.1_______C.
1.(1)中国?A,美国?A,印度?A,英国?A;
中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲.
2 (2)?1?AA?{x|x?x}?{0,.1 }
2 (3)3?B B?{x|x }?x?6?0}?{?3.,2
(4)8?C,9.1?C 9.1?N.
2.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)由方程x2?9?0的所有实数根组成的集合;
(2)由小于8的所有素数组成的集合;
(3)一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合;
(4)不等式4x?5?3的解集.
22.解:(1)因为方程x?9?0的实数根为x1??3,x2?3,
所以由方程x?9?0的所有实数根组成的集合为{?3,3};
(2)因为小于8的素数为2,3,5,7,
所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7};
?y?x?3
?y??2x?6?x?1?y?42(3)由?,得?,
即一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点为(1,4),
所以一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合为{(1,4)};
(4)由4x?5?3,得x?2,
所以不等式4x?5?3的解集为{x|x?2}.
1.1.2集合间的基本关系
练习(第7页)
1.写出集合{a,b,c}的所有子集.
1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得?;
取一个元素,得{a},{b},{c};
取两个元素,得{a,b},{a,c},{b,c};
取三个元素,得{a,b,c},
即集合{a,b,c}的所有子集为?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.
2.用适当的符号填空:
(1)a______{a,b,c};(2)0______{x|x2?0};
(3)?______{x?R|x2?1?0}; (4){0,1}______N;
(5){0}______{x|x2?x}; (6){2,1}______{x|x2?3x?2?0}.
2.(1)a?{a,b,c}a是集合{a,b,c}中的一个元素;
(2)0?{x|x2?0} {x|x?0?}
22 {;0}22(3)??{x?R|x?1?0}方程x?1?0无实数根,{x?R|x?1?0}??;
(4)
{0,1}
(5)
{0}N (或{0,1}?N) {0,1是自然数集合N的子集,也是真子集; }{x|x?x} (或{0}?{x|x?x}) {x|x?x}?222{0,;1 }
22(6){2,1}?{x|x?3x?2?0} 方程x?3x?2?0两根为x1?1,x2?2.
3.判断下列两个集合之间的关系:
(1)A?{1,2,4},B?{x|x是8的约数};
(2)A?{x|x?3k,k?N},B?{x|x?6z,z?N};
(3)A?{x|x是4与10的公倍数,x?N?},B?{x|x?20m,m?N?}.
3.解:(1)因为B?{x|x是8的约数}?{1,2,4,8},所以
AB;
(2)当k?2z时,3k?6z;当k?2z?1时,3k?6z?3,
即B是A的真子集,
BA;
(3)因为4与10的最小公倍数是20,所以A?B.
1.1.3集合的基本运算
练习(第11页)
1.设A?{3,5,6,8},B?{4,5,7,8},求A?B,A?B.
1.解:A?B?{3,5,6,8}?{4,5,7,8}?{5,8},
A?B?{3,5,6,?8}{4,5?,7,8}{3,.4
2.设A?{x|x2?4x?5?0},B?{x|x2?1},求A?B,A?B.
2.解:方程x2?4x?5?0的两根为x1??1,x2?5,
方程x2?1?0的两根为x1??1,x2?1,
得A?{?1,5},B?{?1,1},
即A?B?{?1},A?B?{?1,1,5}.
3.已知A?{x|x是等腰三角形},B?{x|x是直角三角形},求A?B,A?B.
3.解:A?B?{x|x是等腰直角三角形},
A?B?{x|是. x等腰三角形或直角三角形}
4.已知全集U?{1,2,3,4,5,6,7},A?{2,4,5},B?{1,3,5,7},
B),(求A?(痧UA)?( UB). U
4.解:显然eUB?{2,4,6},eUA?{1,3,6,7},
A)?(则A?(eUB)?{2,4},(痧UUB)?{6}.
1.1集合
习题1.1 (第11页)A组
1.用符号“?”或“?”填空:
(1)32
7_______Q;(2)32______N;(3)?_______Q;
(4
)R;(5
Z; (6
)2_______N.
1.(1)32
7?Q32
7是有理数; (2)32?N32?9是个自然数;
)?2(3)??Q ?是个无理数,不是有理数; (4
R
(5
)Z
?3是个整数; (转 载 于:wWw.HnnsCY.cOM 博文学习网:数学1必修)(6
)2?N
是个自然数. 5
2.已知A?{x|x?3k?1,k?Z},用 “?”或“?” 符号填空:
(1)5_______A; (2)7_______A; (3)?10_______A.
2.(1)5?A; (2)7?A; (3)?10?A.
当k?2时,3k?1?5;当k??3时,3k?1??10;
3.用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于1且小于6的整数;
(2)A?{x|(x?1)(x?2)?0};
(3)B?{x?Z|?3?2x?1?3}.
3.解:(1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5,即{2,3,4,5}为所求;
(2)方程(x?1)(x?2)?0的两个实根为x1??2,x2?1,即{?2,1}为所求;
(3)由不等式?3?2x?1?3,得?1?x?2,且x?Z,即{0,1,2}为所求.
4.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)二次函数y?x2?4的函数值组成的集合;
(2)反比例函数y?2
x
(3)不等式3x?4?2x的解集.
22的自变量的值组成的集合; 4.解:(1)显然有x?0,得x?4??4,即y??4,
得二次函数y?x?4的函数值组成的集合为{y|y??4};
(2)显然有x?0,得反比例函数y?
(3)由不等式3x?4?2x,得x?
5.选用适当的符号填空:
(1)已知集合A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2},则有: 452x2的自变量的值组成的集合为{x|x?0}; 45. ,即不等式3x?4?2x的解集为{x|x?
?4_______B; ?3_______A; {2}_______B; B_______A;
(2)已知集合A?{x|x2?1?0},则有:
1_______A; {?1}_______A; ?_______A; {1?A; ,1_______}
(3){x|x是菱形}_______{x|x是平行四边形};
{x|x是等腰三角形}_______{x|x是等边三角形}.
5.(1)?4?B; ?3?A; {2}B;
BA;
2x?3?3x?x??3,即A?{x|x??3},B?{x|x?2};
(2)1?A; {?1}A;
?A; {1?,1=}A;
2 A?{x|x }?1?0}?{?1;,1
(3){x|x是菱
形}{x|x是平行四边形};
菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;
{x|x是等边三角
形}{x|x是等腰三角形}.
等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形.
6.设集合A?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x},求A?B,A?B.
6.解:3x?7?8?2x,即x?3,得A?{x|2?x?4},B?{x|x?3},
则A?B?{x|x?2},A?B?{x|3?x?4}.
7.设集合A?{x|x是小于9的正整数},B?{1,2,3},C?{3,4,5,6},求A?B, A?C,A?(B?C),A?(B?C).
7.解:A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8},
则A?B?{1,2,3},A?C?{3,4,5,6},
而B?C?{1,2,3,4,5,6},B?C?{3},
则A?(B?C)?{1,2,3,4,5,6},
A?(B?C)?{1,2,3,4,5,6,7,8}.
数学1必修篇二:高一数学必修1试题附答案详解
1.已知全集I={0,1,2},且满足CI (A∪B)={2}的A、B共有组数
2.如果集合A={x|x=2kπ+π,k∈Z},B={x|x=4kπ+π,k∈Z},则集合A,B的关系
2
3.设A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x+1,x∈A},则B的元素个数是
4.若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q ? (P∩Q)成立的所 有实数a的取值范围为
5.已知集合A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b,若4和10的原象分别对应是6和9, 则19在f作用下的象为
3x-1
6.函数f(x) (x∈R且x≠2)的值域为集合N,则集合{2,-2,-1,-3}中不属于N的元
2-x素是
7.已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为
8.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=1,g(x)=x
x-4
B.f(x)=x+2,g(x)=
x-2D.f(x)=x,g(x)=( )2
2
C.f(x)=|x|,g(x)=?
2
?x x≥0
?-x x<0
??xx>0
9. f(x)=?πx=0 ,则f{f[f(-3)]}
??0 x<0
x
10.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 的
y
11.设x∈R,若a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则a取值范围是
12.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.已知全集I={0,1,2},且满足CI (A∪B)={2}的A、B共有组数 A.5 B.7 C.9 2.如果集合A={x|x=2kπ+π,k∈Z},B={x|x=4kπ+π,k∈Z},则 A.AB B.BA C.A=B 3.设A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B的元素个数是
D.11 D.A∩B=?
A.5B.4C.3 D.2 4.若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q ? (P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为 A.(1,9) B.[1,9]C.[6,9) D.(6,9] 5.已知集合A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b,若4和10的原象分别对应是6和9,则19在f作用下的象为 A.18
B.30
27C.
2
D.28
3x-1
6.函数f(x) (x∈R且x≠2)的值域为集合N,则集合{2,-2,-1,-3}中不属于N的元
2-x素是 A.2
B.-2
C.-1
D.-3
7.已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为 A.3x-2 B.3x+2 C.2x+3 D.2x-3 8.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=1,g(x)=x
x2-4
B.f(x)=x+2,g(x)=
x-2D.f(x)=x,g(x)=( )2
C.f(x)=|x|,g(x)=?
2
?x x≥0
?-x x<0
??xx>0
9. f(x)=?πx=0 ,则f{f[f(-3)]}等于
?0 x<0?
A.0
B.π
C.π
2
D.9
x
10.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 的值为
yA.1
B.4
C.1或4
1
D. 或4
4
11.设x∈R,若a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则 A.a≥1 B.a>1 C.0<a≤1
D.a<1
12.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是
1A.(0,)
2
B.(0,?
2
?
1?
1
C.( ,+∞)
2
D.(0,+∞)
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式x2+ax+a-2>0的解集为R,则a可取值的集合为__________.
14.函数yx+x+1 的定义域是______,值域为__ ____.
1
15.若不等式3x?2ax>()x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.
3
2
x?1??2 x?(??,1??3
16. f(x)=?1?x,则f(x)值域为_____ _.
??2 x??1,????3
1
17.函数y的值域是__________.
2+1
18.方程log2(2-2x)+x+99=0的两个解的和是______.
三、解答题(本大题共5小题,共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.全集U=R,A={x||x|≥1},B={x|x-2x-3>0},求(CUA)∩(CUB).
20.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)求证:f(8)=3(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
21.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
22.已知函数f(x)=log12x-log1x+5,x∈[2,4],求f(x)的最大值及最小值.
4
4
2
a
23.已知函数f(x) (ax-a-x)(a>0且a≠1)是R上的增函数,求a的取值范围.
a-2
答案
1、由题知A∪B={0,1},所以A=?或{0 }或{1}或{0,1};对应的集合B可为{0,1}或{1},{0,1}或{0},{0,1}或?,{0},{1},{0,1}
2、解:当k为偶数即k=2m,时A={x|x=4mπ+π,m∈Z},为奇数即k=2m+1,时A={x|x=4mπ+2π,m∈Z},故.BA;注意m , k都是整数,虽字母不同但意义相同 3、解:A={-2,-1, 0,1,2},则B={5,2, 1}
2a?1?3
4、解:由Q ? (P∩Q)知Q ? P,故 3a?5?222a?1?3a?5
得6<a≤9
5、解:由题知4?6a?b?9a?b
得a=2 b=-8,19×2-8=28
3x-12y?1
6、解:令 得x=,当y=-3时x不存在,故-3是不属于N的元素
2-x3?y7、解:设f(x)= ax+b,则2(2a+b) -3(a+b) =5, 2(0a+b)-[(-1)a+b] =1,
解得a=3 b=-2 故f(x)= 3x-2
8、解:A. f(x)定义域为R,g(x)定义域为x≠0 B. f(x)定义域为R,g(x)定义域为x≠2 C f(x)去绝对值即为g(x),为同一函数D f(x)定义域为R,g(x)定义域为x≥2 9、解:-3<0,则f(-3)=0,f(0)=π,π>0,f(π)=π2,f{f[f(-3)]}=π2 x1
10、解(x-2y) 2=xy,得(x-y) (x-4y) =0,x=y或,x=4y即= 或4
y4
11、解:要使a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,须a小于lg(|x-3|+|x+7|)的最小值,由于y=lg x是增函数,只需求|x-3|+|x+7|的最小值,
?2x?7
(x??7)(?7?x?3)(x?3)
最小值为10最小值为10
去绝对值符号得|x-3|+|x+7| 102x?4
故lg(|x-3|+|x+7|)的最小值为lg 10=1,所以.a<1
12、解:由x ?(-1,0),得x+1?(0,1),要使f(x)>0,由函数y=logax 的图像知
1
0<2a<1, 得0<a<
2
1、由题知A∪B={0,1},所以A=?或{0 }或{1}或{0,1};对应的集合B可为{0,1}或{1},{0,1}或{0},{0,1}或?,{0},{1},{0,1}
2、解:当k为偶数即k=2m,时A={x|x=4mπ+π,m∈Z},为奇数即k=2m+1,时A={x|x=4mπ+2π,m∈Z},故.BA;注意m , k都是整数,虽字母不同但意义相同 3、解:A={-2,-1, 0,1,2},则B={5,2, 1}
2a?1?3
4、解:由Q ? (P∩Q)知Q ? P,故 3a?5?222a?1?3a?5
得6<a≤9
5、解:由题知4?6a?b?9a?b
得a=2 b=-8,19×2-8=28
3x-12y?1
6、解:令 得x=,当y=-3时x不存在,故-3是不属于N的元素
2-x3?y7、解:设f(x)= ax+b,则2(2a+b) -3(a+b) =5, 2(0a+b)-[(-1)a+b] =1,
解得a=3 b=-2 故f(x)= 3x-2
8、解:A. f(x)定义域为R,g(x)定义域为x≠0 B. f(x)定义域为R,g(x)定义域为x≠2 C f(x)去绝对值即为g(x),为同一函数D f(x)定义域为R,g(x)定义域为x≥2 9、解:-3<0,则f(-3)=0,f(0)=π,π>0,f(π)=π2,f{f[f(-3)]}=π2 x1
10、解(x-2y) 2=xy,得(x-y) (x-4y) =0,x=y或,x=4y即= 或4
y4
11、解:要使a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,须a小于lg(|x-3|+|x+7|)的最小值,由于y=lg x是增函数,只需求|x-3|+|x+7|的最小值,
?2x?7
(x??7)(?7?x?3)(x?3)
最小值为10最小值为10
去绝对值符号得|x-3|+|x+7| 102x?4
故lg(|x-3|+|x+7|)的最小值为lg 10=1,所以.a<1
12、解:由x ?(-1,0),得x+1?(0,1),要使f(x)>0,由函数y=logax 的图像知
1
0<2a<1, 得0<a<
2
13、解:要不等式的解集为R,则△<0,即a2-4a+a<0,解得a??
331
142+x+1 由意义,须x2+x+1≥0, 解得x?R, 由x2+x+1=( )2+≥,所以
244
函数定义域为R 15、解:原不等式可化为3x
2
,+∞) 2
>3-(x+1)对一切实数x恒成立,须x2-2ax>-(x+1) 对一切实
?2ax
132
数x恒成立,即 x-(2a-1)x+1> 0对一切实数x恒成立,须△<0< a <
2216、解:因3x-1-2=3x?
13
是增函数,当x≤1时0<3x<3,-2<3x-1-2≤-1,而31-x-2=3·3-x
-x
是减函数,当x>1时0<3<
13
,-2<3-2<-1,故原函数值域为(-2,-1]
1-x
数学1必修篇三:新课标人教A版高一数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
(Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
(3)图示法(文氏图):
4、常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
6、集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?B或B? A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B?A?B且B?A
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即A?S),由S中 所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。 记作: CSA ,即 CSA ={x | x?S且 x?A} (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U (4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点
的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法:
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
(1)将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
?1?(2) y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如y?a与y?a??? ?a?
(3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如y?logax与y??logax?log1x x?xx
a
Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x?a) 左加右减; 由f(x)得到f(x)?a 上加下减
(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.映射
定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A?B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法:必须注明函数的定义域;
3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f是g的复合函数。
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,
都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间;
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)
>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2))。
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;2 作差f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
复合函数单调性:口诀:同增异减
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(4)判断函数的单调性常用的结论
①函数y??f(x)与y?f(x)的单调性相反;
②当函数y?f(x)恒为正或恒有负时,y?1f(x)与函数y?f(x)的单调性相反;
③函数y?f(x)与函数y?f(x)?C(C为常数)的单调性相同;
④当C > 0(C为常数)时,y?f(x)与y?C?f(x)的单调性相同;
当C < 0(C为常数)时,y?f(x)与y?C?f(x)的单调性相反;
⑤函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)仍是增(减)函数;
⑥若f(x)?0,g(x)?0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)也是增(减)函数; 若f(x)?0,g(x)?0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)也是减(增)函数;
nff(x)?0f(x
)k?f(x)(k?0)⑦设,若、、(x)(n?1)都是增函数,1
而f(x)是减函数.
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
③若f(x)为偶函数,则f(?x)?f(x)?f(|x|).
④若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)?0.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和(或差)”.如设f(x)是定义域为R的任一函数, 则F(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x),G(x)?. 22
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(f(x)?0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p30页)
(1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
(2) 利用图象求函数的最大(小)值;
(3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0
=0。
注意:
(1)?a
(2)当 n
?a ,当 n
?|a|??
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义,规定:a?
正数的正分数指数幂的意义:a_m
nmnn?a,a?0 ?a,a?0?a?0,m,n?N?,且n?1) ?1
am
n(a?0,m,n?N?,且n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)aa?arsr?s(a?0,r,s?R)