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大学物理,静电场篇一：大学物理静电场作业题
第五章 静电场
习题5-9若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为E?
1
1
??04r2?L2
1
2
（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为E?
1
2
??0r4r?L
若棒为无限长（即L→?），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。 证明：（1）
延长线上一点P的电场强度E??
dq
0r'2
L4??
，故由几何关系可得
EP??
L/2
1
QdxL(r?x)2
?L/24??
?
1?11?1
????224??0L?r?L/2r?L/2???04r?L
Q
电场强度方向：沿x轴。
（2）
若点P在棒的垂直平分线上，如图所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此点P的电场强度E方向沿y轴，大小为
E?Ey??
sin?dq
2
L4??0r'
利用几何关系sin??r/r'，r'?r2?x2，则
E??
L/2
1
rQdxL(x?r)
2
23/2
?L/24??
?
Q2??0r
1L2?4r2
当L→?时，若棒单位长度所带电荷?为常量，则P点电场强度
E?lim
1Q/L
L??
2??0r?4r2/L2
?
?
2??0r
其结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。
习题5-10一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心处电场强度的大小。
解：将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元
dq??dS??2?R2sin?d?，在点O激发的电场强度为
dE?
1
xdq
4??0(x2?r2)3/2
i（圆环电场强度）
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系，x?Rcos?，
y?Rsin?，统一积分变量，电场强度大小为
dE?
1xdq
4??0(x2?r2)3/2
?
?/2
14??0
Rcos?R3
?2?R2sin?d??
?
sin?cos?d? 2?0
积分得 E??
??sin?co?sd?? 2?04?0
习题5-12两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为?。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的
电场力。
解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+E-分别表示正负电导线在P点的电场强度，则有
E?E??E??
?
2??0?1r01?????i??xr?x?2??x(r?x)i
000??
（2）设F+，F-分别表示正负带电导线单位长度所受的电场力，则有
?2
F???E??i
2??0r0
F????E???
?
i
2??0r0
2
显然有F???F?，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 习题5-15边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E=(E1+kx)i+E2j (
k，E1，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
解：如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，
电场强度的通量为零，即?OABC??DEFG?0。而
?ABGF??E?dS??[(E1?kx)i?E2j]?(dSj)?E2a2
考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
?CDEO???ABGF??E2a2
同理?AOEF??E?dS??[E1i?E2j]?(?dSi)??E1a2
?BCDG??E?dS??[(E1?ka)i?E2j]?(dSi)?(E1?ka)a2 因此，整个立方体表面的电场强度通量
?????ka3
习题5-18一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。
分析：本题的电场强度分布虽然不具备对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带圆盘的电场叠加，求出电场的分布，要回灵活应用。
若把小圆孔看做由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度?'???）的小圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和。 解：（由5-4例4可知，）在无限大带点平面附近
E1?
?
en 2?0
en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场
??x?1?E2??
2?0?x2?r2?
它们的合电场强度为
?
?e ?n?
E1?E1?E2?
?2?0
xx?r
2
2
en
习题5-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。球电场分布。电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析。
2
解：取半径为r的同心球面为高斯面，由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。
E4?r2??q/?0
r?R1，该高斯面内无电荷，?q?0，故
E1?0
R1?r?R2，高斯面内电荷?q?
E2?
3
Q1(r3?R1)3R2
?
3R1
，故
3
Q1(r3?R1)34??0(R2
?
32R1)r
R2?r?R3，高斯面内电荷为Q，故
E3?
r?R3，高斯面内电荷为Q1?Q2故
Q14??0r
2
E4?
Q1?Q24??0r
2
电场强度方向沿矢径方向，各区域的电场强度分布曲线如图（b）所示。 在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r?R3的带点球面两侧，电场强度的跃变量
?E?E4?E3?
Q2
24??0R3
?
? ?0
大学物理,静电场篇二：大学物理静电场练习题带答案
大物练习题（一）
1、如图，在电荷体密度为?的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O?的矢量用a表示。试证明球形空腔中任一点电场强度为 . A、C、
2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强
??
aB、a 3?0?0
2?
a D、
3?a
?0?0
A、C、
????
B、 2π?0Rπ?0R
????
ln2?ln2?D、 2π?04?0π?02?0
3、 如图所示，一导体球半径为R1,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳, 外球壳所带总电荷为Q,而内球的电势为V0，求导体球和球壳之间的电势差（填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）。 A、?1?
??
R1??R1?Q?Q?
V?V? B??0? ??0
R2??4??0R2?R2?4??0R2?
C、V0?
Q4??0R2
D、?1?
?
?
R1??Q?
V?? ??0
R2??4??0R2?
4.如图所示，电荷面密度为?1的带电无限大板A旁边有一带电导体B，今测得导体表面靠近P点处的电荷面密度为?2。求：（1）P点处的场强 ；（2）导体表面靠近P点处的电荷元?2?S所受的电场力。
22
?2?S?2?S?2?2
A、 B、 C、 D、
?02?02?0?0
5．如图，在一带电量为Q的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为?r，壳外是真空，则在壳外P点处(OP?r)的场强和电位移的大小分别为［］
（A）E?（C）E?
6、在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面： （A）高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强；
（B）高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强； （C）由于电介质不对称分布，高斯定理不成立； （D）即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。
7、如图所示，一点电荷q位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量?e＝________________．
8.
如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都
Q4??0?rr
,D?2
Q
4??0r2
； （B）E?
,D?4??rr24?r2
； 。
,D?4??0r24?r2
；（D）E?
,D?4??0r24??0r2
是S，有一定厚度，带电荷分别为Q1和Q2。如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为______________ ；______________；_____________；___________。
9、一无限长带电直线,电荷线密度为?,傍边有长为a, 宽为b的一矩形平面, 矩形平面中心线与带电直线组成的平面垂直于矩形平面，带电直线与矩形平面的距离为c，如图，求通过矩形平面电通量的大小. . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取） A、
?aarctan??b?2c??? B、?aarctan??b?2c???
2??0??0
?aarctan?b?2c???? C、
4??0
D、
2?aarctan??b?2c???
??0
?
1.答案：A
证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为?和??的均匀带电大球体和小球体叠加而成。空腔内任一点P处的场强，可表示为 E?E1?E2?
????r1?r2?(r1?r2) 3?03?03?0
其中E1和E2分别为带电大球体和小球体在P点的场强。由几何关系
r1?r2?a，上式可写成
E?
?
a 3?0
即证。 2. 答案：A
解: 由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强
?
互相抵消，取dl?Rd?，则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，
O
点场强沿y轴负方向
E??dEy??2?
?
?Rd?
cos?
?4π?R2
02
?
???
［sin(?)?sin］
224π?0R
?
??
2π?0R
3、答案：A 解 设导体球所带电荷为q。因静电平衡，电荷q分布在导体球的外表面。这样一来，就可以把体系看成是两个半径分别为R1和R2，电荷分别为q和Q的带电球壳。由电势叠加原理，导体球的电势为
q4??0R1
?
Q4??0R2
?V0解出q?4??0R1V0?
R1Q
R2
因此，导体球和球壳之间的电势差为
U12?V0?
?R1??q?QQ?
???、 ??1?V?0????4??0R2?R2??4??0R2?
4.答案：A, C 解析见课本P-126
5. 答案：C
解：由D的高斯定理得电位移
D?
Q
4?r2
D
Q4??0r2
，而
E?
?0
?
。
??D?dS??Q，它的成立与否与电介质的具体分6.选（B）。高斯定理S
布没有关系，对于电介质不对称分布的情况，此球形闭合面上的电场分布不具有对称性，可以肯出不能用它求出闭合面上各点的场强；
大学物理,静电场篇三：河北科技大学大学物理答案静电场
习 题
2q、 -4q和2q，它的正中放着一个10-1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q、
单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。
解：两个2q的电荷对中心电荷的作用力大小相等，方向相反，合力为0。q对中心电荷的作用力
q
2q
F1?
qe
，方向背离q指向中心；
4??0a2/2
2q4q
?4q对中心电荷的作用力
F2?
4qe
，方向由中心指向?4q电荷，与F1同向，所以中心电荷所受的合力 2
4??0a/2
5qe
，方向由中心指向?4q电荷。
2??0a2
F?F1?F2?
10-2 把某一电荷分成q与(Q，-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大库仑斥力，则Q与q有什么关系？ 解：q与Q?q为同性电荷，斥力F?
dFq?Q?q??0，q?Q/2 ，最大时?0
dq4??0r2
10-5 两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a，线电荷密度分别为+l和-l，求每单位长度的带电直线所受的作用力。
解：线电荷密度为+l直线在距线2a的地方的场强为E?
l4??0a
，方向垂直于指向向外，
线电荷密度为-l单位长度带电直线所受的作用力F?lE?
l24??0a
，为引力。
10-6把电偶极矩p=ql的电偶极子放在点电荷Q的电场内，p的中心O到Q的距离为r(r?l)，分别求：(1)pPQO和(2)p^QO时电偶极子所受的力F和力矩M。
解：（1）p∥QO时，电偶极子在Q位置的场强为E?
2p
方向与电偶极矩的方向相同，3
4??0r
1
因此电荷受的力为F??
2Qp
，方向与电偶极矩的方向相同。所以电偶极子所受的力 3
4??0r
F?
Qp
，方向与电偶极矩的方向相反；
2??0r3
Q4??0r
2
Q在电偶极子处的场强E?，方向由Q指向p，与p的方向平行，电偶极子受的力
矩M?p?E?0。
（2）p⊥QO时，电偶极子在Q位置的场强为E?
p4??0r
3
，方向与电偶极矩的方向相反，
因此电荷受的力为F??
Qp
，方向与电偶极矩的方向相反。所以电偶极子所受的力
4??0r3
F?
Qp
，方向与电偶极矩的方向相同； 3
4??0r
Q4??0r
2
Q在电偶极子处的场强E?，方向由Q指向p，
电偶极子受的力矩M?p?E?pE?
Qp
，方向由p转向E。 2
4??0r
10-7 如习题11-7图所示，一根细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀地带电荷+Q，下半段均匀地带电荷-Q，试求半圆中心P点处的电场E。
习题11-7图
解：上半段在半圆中心P点的场
E??
????Q?2Q
sin?2sin?
2??0R2??0R242?2?0R2
下半段在半圆中心P点的场
E??
2Q
22
2??0R
?Q
，方向向下。
?2?0R2
2
E?2E??
习题11-9图
习题11-10图
10-10 如习题11-10图所示，一个细的带电塑料圆环，半径为R，所带线电荷密度l和q有l=l0sinq的关系。求在圆心处的电场强度的方向和大小。
解：元弧在圆心的场
2??sin2?d??0sin2?d??Rd?0
，Ex???dEx??cos????0； 204??0R8??0R8??0R
2
2??sin?d??0sin2?d??0?Rd?0
，； dEy??sin???E????y?04??0R4??0R24??0R4?0R
所以圆心的场大小为
?0
，向下。 4?0R
10-11 一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为s，求这洞的轴线上离洞心为r处的场强。
解：等效为电荷面密度为?的无限大平板与电荷面密度为??的半径为R的圆板的组合。
???
无限大平板的场E1?，半径为R的圆板的场E2?
2?02?0
?r
1??
R2?(转载于:www.hNNsCy.coM 博 文 学 习 网:大学物理,静电场)r2??
?
1/2???
???
?总场强E?E1?E2?
2?02?0
?r?1?2
R?r2??
??r
??1/222??2?0R?r
1/2
10-12 一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q，求正方形轴线上离中心为x处的场强。 解：一条边在P点的场E?
?
?cos?1?cos?2?
4??0d
d?PA?x2?l2/4，
3
?cos?1?cos?2??2cos?1?
lx?l/2
2
2
，
E?
?
4??0x?l/4
2
2
2
lx?l/2
2
在轴线上的分量E??Ecos??
4??0x?l/4
xl
?
2
2
xlx?l/2?
2
2
P点的总场E???4E??
??0x2?l2/4x2?l2/2
?
q
4??0x2?l2/4
xx?l/2
2
2
10-13 一厚度为d的非导体平板，具有均匀体电荷密度?。求板内、外各处的电场强度值。 解：
x?0时，E??
??d
； ??
2?02?0
x?0时，E?
??d
?
2?02?0
0?x?d时，E?
?Ox?xd??2x?d? ???2?02?02?0
10-14 按照一种模型，中子是由带正电荷的内核与带负电荷的外壳所组成的。假设正电荷电量为2e/3，且均匀分布在半径为0.50′10-15m的球内；而负电荷电量为-2e/3，分布在内、外半径分别为0.50′10-15m和1.0′10-15m的同心球壳内，如习题11-14图所示。求在与中心距离分别为1.0′10-15m、0.75′10-15m、0.50′10-15m和0.25′10-15m处电场的大小和
习题11-14图
方向。
解：由高斯定理可知
r?1.0?10?15m时，高斯球面内的总电量为0，E?0；
?0.753?0.53?
2e?1?
1?0.53??15?
??0.226e， r?0.75?10m时，高斯球面内的总电量为q?
3
4
0.226?1.6?10?1920?1
； E???5.79?10N?C22?30
4??0r4??00.75?10
q
r?0.5?10?15m时，高斯球面内的总电量为q?
2e
， 3
2
?1.6?10?19
qE???38.4?1020N?C?1； 22?30
4??0r4??00.5?10r?0.25?10
?15
2e?0.253?
m时，高斯球面内的总电量为q???e/12， 3?3?0.5?
1.6?10?19/12
E???19.2?1020N?C?1； 22?30
4??0r4??00.25?10
q
方向都沿径向向外。
10-16 (1)点电荷q位于边长为a的正立方体中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少？(2)若电荷移至正立方体的一个顶点上，那么通过每个面的电通量又各是多少？ 解：由高斯定理可知
（1） 通过此立方体的每一面的电通量各是??
q
； 6?0
（2） 通过与电荷相连的3个面的电通量都为0，通过不与电荷相连的面的电通量都为 （3） ??
q
。 24?0
10-17 如习题11-17图所示，设均匀电场E与半径为R的半球的轴平行，试计算通过此半球的电通量?e。
解：通过半球的电通量与通过圆面的一样，?e??RE。
10-19 如图习题11-19所示，电场分量是Ex=bx1/2，式中，b=800NC?mEy=Ez=0，
2
2
习题11-17
图
)b
800N鬃C-1m-1/2，
假设a=10cm，试计算：(1)通过立方体表面的电通量Fe；(2)立方体内部的电荷。
5
习题11-19图